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Den ersten Schritt über Euklid hinaus unternimmt 1829 N. I. Lobatschewski(1793 – 1856) mit seinem Versuch, die geometrischen Grundbegriffe Punkt, Linie und Fläche auf der Basis von Berührbeziehungen zwischen Körpern zu erklären. Dieser Versuch blieb bis zu unserer Zeit relativ unbeachtet und völlig wirkungslos.

Lobatschewski liefert zugleich auch einen neuen Aufbau der Geometrie, der die Rolle der Parallelität klärt und der euklidischen Geometrie ein vom Parallelenaxiom freies System voranstellt (absolute Geometrie), sowie ein alternatives System zur Seite stellt (Lobatschewski-Bolyai-Geometrie).

Im Zuge der technischen und industriellen Revolution im 19. Jahrhundert entsteht zunehmend das Bedürfnis, immer „genauere“ Geraden und Ebenen an Werkstücken herzustellen. Viele namhafte Handwerker in England nehmen sich dieses Problems an und publizierten auch Aufsätze in technischen Zeitschriften über die Herstellung von genauen ebenen Flächen und geraden Kanten, die in der Produktion von Bauteilen und Werkzeugmaschinen eine besondere Rolle spielen. Diese Publikationen bleiben nicht ohne Wirkung auf die Theoretiker. Der Mathematiker William K. Clifford (1845-1879) nimmt in seinem populären Buch „The common sense in the exact sciences“  wohl als erster (nach aktuellem Stand) Bezug auf diese Verfahren und betrachtet sie als eine Grundlage für eine „Erklärung“ der geometrischen Grundbegriffe. Daneben betrachtet er auch eingehend die verschiedenen Berührverhältnisse von Körpern.

Diese Entwicklungen üben Einfluss auf andere Theoretiker, wie Ernst Mach (1838-1916) und Henri Poincaré (1854-1912), aus. In ihren Schriften ziehen sie eine am handwerklichen Vorgehen orientierte Erklärung bzw. Sinngebung des Terminus „Ebene“, zumindest für den Unterricht, in Betracht.

Von Lobatschewski zu Poincaré